Les quadrilatères

Appellations

De nos jours quadrilatère est le terme courant. D'autres termes sont tétragones et aussi quadrangulaires .
Quadrilatère vient du latin mais les romains utilisaient le mot tetragonus qui vient du grec. En grec tetra = quatre et gonou = genou, ou angle( et non gonia).
Notons que tetragonia est le nom latin de la plante dont les feuilles sont tétragonales.

Quatre points A, B, C, D ne suffisent pas à définir un quadrilatère. Avec six segments les reliant entr'eux, trois cheminements sont possibles, soit trois quadrilatères, un convexe et deux croisés.
Lorsqu' un point est à l'intérieur du triangle formé par les trois autres, trois tracés sont possibles, tous concaves.

En géométrie plane les quadrilatères sont des figures géométriques qui se divisent :
   en trois catégories,
   en plusieurs familles,
qui comprennent des figures remarquables.
En voici la description pas à pas. Cependant toutes leurs propriétés ne sont pas traitées car cela prendrait un livret de géométrie.
    .                                       schéma 1

Trois catégories

Convexe
   Les deux diagonales sont intérieures
Concave
   Une diagonale est intérieure, l'autre est extérieure.
Croisé
   Les deux diagonales sont extérieures

schéma 2

Les lignes remarquables

Les lignes principales sont les 4 côtés . Seuls deux côtés opposés les plus longs peuvent se croiser
Les lignes directrices sont les 2 diagonales, les 4 bissectrices des angles et les 4 médiatrices des côtés.
Les axes de symétrie se placent sur les directrices.

Les angles

Les seuls angles considérés sont les angles intérieurs.
Les angles opposés sont aux extrémités des diagonales.
La somme des quatre angles fait 360°
Convexe : angle max180°. Concave : angle >180°.
Dans un quadrilatère croisé angle max <180°.

schéma 3

Propriétés spécifiques

Deux côtés égaux sont isométriques ou congruents.

Un quadrilatère est :
   orthogonal quand un angle fait 90°
   isocèle quand deux côtés consécutifs sont égaux..
   symétrique quand il existe une symétrie axiale.
      Les autres symétries ne sont pas considérées.
  NB : Projection orthogonale => géométrie dans l'espace)

Les familles

Irrégulier
   Les longueurs et les angles sont quelconques
        Catégories : convexe, concave, croisé (schéma 3)

Trapèze
     Deux côtés sont parallèles,
     Catégories : convexe, croisé nommé Zède,
       jamais concave

Parallélogramme
    Les côtés sont parallèles deux à deux
    Catégorie : seulement convexe.

Quadrin
    Une diagonale est un axe de symétrie
    Catégories : convexe et concave
    Pour en savoir plus, ouvrir la page Quadrin.

Les familles peuvent contenir des sous-familles,classées par catégories, par propriétés,.etc.
Les figures remarquables peuvent appartenir à plusieurs familles .

Tableau de la classification des quadrilatères en téléchargement.

Les figures remarquables

      ¤   Celles avec 1 axe de symétrie
Trapèze symétrique :   à deux côtés opposés égaux
Trapèze bisocèle     3 côtés égaux, 3 triangles équilatéraux

      ¤ ¤ Celles avec 2 axes de symétrie
Rectangle
   parallélogramme orthogonal
Losange (ou Rhombe du latin rhombus).
   parallélogramme ou quadrin à quatre côtés égaux
Carré
   losange orthogonal ou rectangle à quatre côtés égaux
Diabolo
   Zède à faces opposées égales deux à deux.
  Diabolo parfait : diagonales égales aux côtés parallèles.

Tétramorphe, le gabarit articulé

Mon premier gabarit était en lattes de contre-plaqué 30x3 mm pour tendre les tissus. Deux réglettes de 30 cm, deux de 20 cm, quelques trous, un peu de vernis, des boulons de Ø 3 mm avec des écrous papillon et le tour est joué.
Monté en quadrin, il me servait lors d'animations à expliquer aux enfants et parfois aux adultes les formes des cerfs-volants delta et malais en passant par le triangle.

Plus tard, j'ai trouvé un gabarit articulé en aluminium. Les graduations et les fentes-glissières dans les réglettes sont un plus. Deux de 30 cm sont graduées de 0 à 25 et deux de 18 cm sont graduées de -6 à + 6 cm.
Les réglettes étaient montées d'office en quadrin. Un jour j'ai fait un montage en parallélogramme. Parfait pour les trapèzes, rectangles, losanges et carrés. Suite à quoi j'ai découvert que je pouvais passer les deux grandes réglettes en mode croisé. Ce fut une révélation sur les quadrilatères croisés. Outre le diabolo et le Zede, mon préféré est le double L orthogonaux (tout à droite ci-contre).